Понятия о скорости, тангенциальном и нормальном ускорениях. Формулы
Изучение физики начинают с рассмотрения механического движения. В общем случае тела движутся по кривым траекториям с переменными скоростями. Для их описания используют понятие ускорения. В данной статье рассмотрим, что такое тангенциальное и нормальное ускорение.
Кинематические величины. Скорость и ускорение в физике
Кинематика механического движения - это раздел физики, который занимается изучением и описанием перемещения тел в пространстве. Кинематика оперирует тремя главными величинами:
- пройденный путь;
- скорость;
- ускорение.
В случае движения по окружности используют аналогичные кинематические характеристики, которые приведены к центральному углу окружности.
С понятием скорости знаком каждый. Она показывает быстроту изменения координат тел, находящихся в движении. Скорость всегда направлена по касательной к линии, вдоль которой тело перемещается (траектории). Далее линейную скорость будем обозначать v¯, а угловую скорость - ω¯.
Ускорение - это скорость изменения величин v¯ и ω¯. Ускорение - это тоже однако ее направление совершенно не зависит от вектора скорости. Ускорение всегда направлено в сторону действующей на тело силы, которая вызывает изменение вектора скорости. Ускорение для любого типа движения можно рассчитать по формуле:
Чем сильнее изменится скорость за интервал времени dt, тем больше будет ускорение.
Касательное и нормальное ускорение
Предположим, что материальная точка движется по некоторой кривой линии. Известно, что в некоторый момент времени t ее скорость была равна v¯. Поскольку скорость - это касательный к траектории вектор, ее можно представить в следующем виде:
Здесь v - длина вектора v¯, а u t ¯ - единичный вектор скорости.
Чтобы вычислить вектор полного ускорения в момент времени t, необходимо найти производную скорости по времени. Имеем:
a¯ = dv¯ / dt = d (v × u t ¯) / dt
Поскольку модуль скорости и единичный вектор изменяются со временем, то, пользуясь правилом нахождения производной от произведения функций, получаем:
a¯ = dv / dt × u t ¯ + d (u t ¯) / dt × v
Первое слагаемое в формуле называется тангенциальной, или касательной компонентой ускорения, второе слагаемое - это нормальное ускорение.
Касательное ускорение
Еще раз запишем формулу для вычисления касательного ускорения:
a t ¯ = dv / dt × u t ¯
Это равенство означает, что тангенциальное (касательное) ускорение направлено так же, как вектор скорости в любой точке траектории. Оно численно определяет изменение модуля скорости. Например, в случае прямолинейного движения состоит только из касательной составляющей. Нормальное ускорение при таком типе перемещения равно нулю.
Причиной появления величины a t ¯ является воздействие внешней силы на движущееся тело.
В случае вращения с постоянным угловым ускорением α тангенциальная составляющая ускорения может быть вычислена по следующей формуле:
Здесь r - это радиус вращения рассматриваемой материальной точки, для которой вычисляется величина a t .
Нормальное или центростремительное ускорение
Теперь выпишем еще раз вторую компоненту полного ускорения:
a c ¯ = d (u t ¯) / dt × v
Из геометрических соображений можно показать, что производная единичного касательного к траектории вектора по времени равна отношению модуля скорости v к радиусу r в момент времени t. Тогда выражение выше запишется так:
Эта формула нормального ускорения свидетельствует, что оно, в отличие от касательной компоненты, не зависит от изменения скорости, а определяется квадратом модуля самой скорости. Также a c возрастает с уменьшением радиуса вращения при постоянной величине v.
Нормальное ускорение называют центростремительным потому, что оно направлено от центра масс вращающегося тела к оси вращения.
Причиной появления этого ускорения является центральная компонента воздействующей на тело силы. Например, в случае вращения планет вокруг нашего Солнца центростремительной силой является гравитационное притяжение.
Нормальное ускорение тела изменяет только направление скорости. Оно не способно изменить ее модуль. Этот факт является важным его отличием от касательной компоненты полного ускорения.
Поскольку центростремительное ускорение возникает всегда, когда вектор скорости поворачивается, то оно существует также в случае равномерного вращения по окружности, при котором тангенциальное ускорение равно нулю.
На практике ощутить на себе влияние нормального ускорения можно, если находиться в машине, когда она совершает затяжной поворот. В этом случае пассажиров прижимает к противоположной направлению поворота двери автомобиля. Это явление - результат действия двух сил: центробежной (смещение пассажиров со своих мест) и центростремительной (давление на пассажиров со стороны двери автомобиля).
Модуль и направление полного ускорения
Итак, мы выяснили, что тангенциальная компонента рассматриваемой физической величины направлена по касательной к траектории движения. В свою очередь, нормальная компонента перпендикулярна траектории в данной точке. Это означает, что две компоненты ускорения перпендикулярны друг другу. Их векторное сложение дает вектор полного ускорения. Вычислить его модуль можно по следующей формуле:
a = √(a t 2 + a c 2)
Направление вектора a¯ можно определить как относительно вектора a t ¯, так и относительно a c ¯. Для этого следует использовать соответствующую тригонометрическую функцию. Например, угол между полным и нормальным ускорениями равен:
Решение задачи на определение центростремительного ускорения
Колесо, которое имеет радиус 20 см, раскручивается с угловым ускорением 5 рад/с 2 в течение 10 секунд. Необходимо определить нормальное ускорение точек, находящихся на периферии колеса, через указанное время.
Для решения задачи воспользуемся формулой связи между тангенциальным и угловым ускорениями. Получаем:
Поскольку равноускоренное движение длилось в течение времени t = 10 секунд, то приобретенная за это время линейная скорость была равна:
v = a t × t = α × r × t
Полученную формулу подставляем в соответствующее выражение для нормального ускорения:
a c = v 2 / r = α 2 × t 2 × r
Остается подставить известные значения в это равенство и записать ответ: a c = 500 м/с 2 .
Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю (величине) и направлено по касательной к траектории:
,
где производная модуля скорости, единичный вектор касательной, совпадающий по направлению со скоростью.
Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и направлено по радиусу кривизны к центру кривизны траектории в данной точке:
,
где R радиус кривизны траектории, единичный вектор нормали.
Модуль вектора ускорения может быть найден по формуле
.
1.3. Основная задача кинематики
Основная задача кинематики заключается в нахождении закона движения материальной точки. Для этого используются следующие соотношения:
;
;
;
;
.
Частные случаи прямолинейного движения:
1) равномерное прямолинейное движение: ;
2)
равнопеременное прямолинейное движение:
.
1.4. Вращательное движение и его кинематические характеристики
При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Для характеристики вращательного движения вводятся следующие кинематические характеристики (рис. 3).
Угловое
перемещение
вектор, численно равный углу поворота
тела
за время
и направленный вдоль оси вращения так,
что, глядя вдоль него, поворот тела
наблюдается происходящим по часовой
стрелке.
Угловая скорость характеризует быстроту и направление вращения тела, равна производной угла поворота по времени и направлена вдоль оси вращения как угловое перемещение.
При вращательном движении справедливы следующие формулы:
;
;
.
Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости с течением времени, равно первой производной угловой скорости и направлено вдоль оси вращения:
;
;
.
Зависимость
выражает закон вращения тела.
При равномерном вращении: = 0, = const, = t.
При
равнопеременном вращении:
= const,
,
.
Для характеристики равномерного вращательного движения используются период вращения и частота вращения.
Период вращения Т – время одного оборота тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью.
Частота вращения – количество оборотов, совершаемых телом за единицу времени.
Угловая скорость может быть выражена следующим образом:
.
Связь между угловыми и линейными кинематическими характеристиками (рис. 4):
2. Динамика поступательного и вращательного движений
Законы Ньютона Первый закон Ньютона: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не выведет его из этого состояния.
Тела, не подверженные внешним воздействиям, называются свободными телами. Система отсчёта, связанная со свободным телом, называется инерциальной системой отсчёта (ИСО). По отношению к ней любое свободное тело будет двигаться равномерно и прямолинейно или находиться в состоянии покоя. Из относительности движения следует, что система отсчёта, движущаяся равномерно и прямолинейно по отношению к ИСО, также является ИСО. ИСО играют важную роль во всех разделах физики. Это связано с принципом относительности Эйнштейна, согласно которому математическая форма любого физического закона должна иметь один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчёта.
К основным понятиям, используемым в динамике поступательного движения, относятся сила, масса тела, импульс тела (системы тел).
Силой называется векторная физическая величина, являющаяся мерой механического действия одного тела на другое. Механическое действие возникает как при непосредственном контакте взаимодействующих тел (трение, реакция опоры, вес и т.д.), так и посредством силового поля , существующего в пространстве (сила тяжести, кулоновские силы и т.д.). Сила характеризуется модулем, направлением и точкой приложения.
Одновременное действие на тело нескольких сил ,,...,может быть заменено действием результирующей (равнодействующей) силы:
=++...+=.
Массой тела называется скалярная величина, являющаяся мерой инертности тела. Под инертностью понимается свойство материальных тел сохранять свою скорость неизменной в отсутствие внешних воздействий и изменять её постепенно (т.е. с конечным ускорением) под действием силы.
Импульсом
тела (материальной точки) называется
векторная физическая величина, равная
произведению массы тела на его скорость:
.
Импульс
системы материальных точек равен
векторной сумме импульсов точек,
составляющих систему:
.
Второй закон Ньютона : скорость изменения импульса тела равна действующей на него силе:
.
Если масса тела остается постоянной, то ускорение, приобретаемое телом относительно инерциальной системы отсчета, прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе тела:
.
Линейное перемещение, линейная скорость, линейное ускорение.
Перемеще́ние (в кинематике) - изменение местоположения физического тела в пространстве относительно выбранной системы отсчёта. Также перемещением называют вектор, характеризующий это изменение. Обладает свойством аддитивности. Длина отрезка - это модуль перемещения, измеряется в метрах (СИ).
Можно определить перемещение, как изменение радиус-вектора точки: .
Модуль перемещения совпадает с пройденным путём в том и только в том случае, если при движении направление перемещения не изменяется. При этом траекторией будет отрезок прямой. В любом другом случае, например, при криволинейном движении, из неравенства треугольника следует, что путь строго больше.
Вектор Dr = r -r 0 , проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени (приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени), называется перемещением .
При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и модуль перемещения |Dr
| равен пройденному пути Ds
.
Линейная скорость тела в механике
Скорость
Для характеристики движения материальной точки вводится векторная величина - скорость, которой определяется как быстрота движения, так и его направление в данный момент времени.
Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории так, что в момент времени t ей соответствует радиус-вектор r 0 (рис. 3). В течение малого промежутка времени Dt точка пройдет путь Ds и получит элементарное (бесконечно малое) перемещение Dr.
Вектором средней скорости
Направление вектора средней скорости совпадает с направлением Dr. При неограниченном уменьшении Dt средняя скорость стремится к предельному значению, которое называетсямгновенной скоростью v:
Мгновенная скорость v, таким образом, есть векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касательной к траектории в сторону движения (рис. 3). По мере уменьшения Dt путь Ds все больше будет приближаться к |Dr|, поэтому модуль мгновенной скорости
Таким образом, модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени:
Принеравномерном движении - модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. В данном случае пользуются скалярной величиной áv ñ -средней скоростью неравномерного движения:
Из рис. 3 вытекает, что áv ñ> |ávñ|, так как Ds > |Dr|, и только в случае прямолинейного движения
Если выражение ds = v dt (см. формулу (2.2)) проинтегрировать по времени в пределах от t до t + Dt , то найдем длину пути, пройденного точкой за время Dt :
В случаеравномерного движения числовое значение мгновенной скорости постоянно; тогда выражение (2.3) примет вид
Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t 1 до t 2 , дается интегралом
Ускорение и его составляющие
В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение .
Рассмотримплоское движение, т.е. движение, при котором все участки траектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор v задает скорость точки А в момент времени t. За время Dt движущаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от v как по модулю, так и направлению и равную v 1 = v + Dv. Перенесем вектор v 1 в точку А и найдем Dv (рис. 4).
Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t + Dt называется векторная величина, равная отношению изменения скорости Dv к интервалу времени Dt
Мгновенным ускорением а (ускорением) материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:
Таким образом, ускорение a есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.
Разложим вектор Dv на две составляющие. Для этого из точки А (рис. 4) по направлению скорости v отложим вектор , по модулю равный v 1 . Очевидно, что вектор , равный , определяет изменение скорости за время Dt по модулю : . Вторая же составляющая вектора Dv характеризует изменение скорости за время Dt по направлению.
Тангенциальное и нормальное ускорение.
Тангенциа́льное ускоре́ние - компонента ускорения, направленная по касательной к траектории движения. Совпадает с направлением вектора скорости при ускоренном движении и противоположно направлено при замедленном. Характеризует изменение модуля скорости. Обозначается обычно или (, итд в соответствии с тем, какая буква выбрана для обозначения ускорения вообще в данном тексте).
Иногда под тангенциальным ускорением понимают проекцию вектора тангенциального ускорения - как он определен выше - на единичный вектор касательной к траектории, что совпадает с проекцией (полного) вектора ускорения на единичный вектор касательной то есть соответствующий коэффициент разложения по сопутствующему базису. В этом случае используется не векторное обозначение, а «скалярное» - как обычно для проекции или координаты вектора - .
Величину тангенциального ускорения - в смысле проекции вектора ускорения на единичный касательный вектор траектории - можно выразить так:
где - путевая скорость вдоль траектории, совпадающая с абсолютной величиной мгновенной скорости в данный момент.
Если использовать для единичного касательного вектора обозначение , то можно записать тангенциальное ускорение в векторном виде:
Вывод
Выражение для тангенциального ускорения можно найти, продифференцировав по времени вектор скорости, представленный в виде через единичный вектор касательной :
где первое слагаемое - тангенциальное ускорение, а второе - нормальное ускорение.
Здесь использовано обозначение для единичного вектора нормали к траектории и - для текущей длины траектории (); в последнем переходе также использовано очевидное
и, из геометрических соображений,
Центростремительное ускорение(нормальное) - часть полного ускорения точки, обусловленного кривизной траектории и скоростью движения по ней материальной точки. Такое ускорение направлено к центру кривизны траектории, чем и обусловлен термин. Формально и по существу термин центростремительное ускорение в целом совпадает с термином нормальное ускорение, различаясь скорее лишь стилистически (иногда исторически).
Особенно часто о центростремительном ускорении говорят, когда речь идет о равномерном движении по окружности или при движении, более или менее приближенном к этому частному случаю.
Элементарная формула
где - нормальное (центростремительное) ускорение, - (мгновенная) линейная скорость движения по траектории, - (мгновенная) угловая скорость этого движения относительно центра кривизны траектории, - радиус кривизны траектории в данной точке. (Cвязь между первой формулой и второй очевидна, учитывая).
Выражения выше включают абсолютные величины. Их легко записать в векторном виде, домножив на - единичный вектор от центра кривизны траектории к данной ее точки:
Эти формулы равно применимы к случаю движения с постоянной (по абсолютной величине) скоростью, так и к произвольному случаю. Однако во втором надо иметь в виду, что центростремительное ускорение не есть полный вектор ускорения, а лишь его составляющая, перпендикулярная траектории (или, что то же, перпендикулярная вектору мгновенной скорости); в полный же вектор ускорения тогда входит еще и тангенциальная составляющая (тангенциальное ускорение) , по направлению совпадающее с касательной к траектории (или, что то же, с мгновенной скоростью).
Вывод
То, что разложение вектора ускорения на компоненты - одну вдоль касательного к траектории вектора (тангенциальное ускорение) и другую ортогональную ему (нормальное ускорение) - может быть удобным и полезным, довольно очевидно само по себе. Это усугубляется тем, что при движении с постоянной по величине скоростью тангенциальная составляющая будет равной нулю, то есть в этом важном частном случае остается только нормальная составляющая. Кроме того, как можно увидеть ниже, каждая из этих составляющих имеет ярко выраженные собственные свойства и структуру, и нормальное ускорение содержит в структуре своей формулы достаточно важное и нетривиальное геометрическое наполнение. Не говоря уже о важном частном случае движения по окружности (который, к тому же, практически без изменения может быть обобщен и на общий случай).
Ускорение точки для всех 3-х способов ускорения движения
Ускорение точки характеризует быстроту изменения модуля и направления скорости точки.
1. Ускорение точки при задании ее движения векторным способом
вектор ускорения точки равен первой производной от скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени. Вектор ускорения направлен в сторону вогнутости кривой
2. Ускорение точки при задании ее движения координатным способом
Модуль и направление вектора ускорения определяются из соотношений:
3. Определение ускорения при задании ее движения естественным способом
Естественные оси и естественный трехгранник
Естественные оси. Кривизна характеризует степень искривленности (изогнутости) кривой. Так, окружность имеет постоянную кривизну, которую измеряют величиной K, обратной радиусу,
Чем больше радиус, тем меньше кривизна, и наоборот. Прямую линию можно рассматривать как окружность с бесконечно большим радиусом и кривизной, равной нулю. Точка представляет окружность радиусом R = 0 и имеет бесконечно большую кривизну.
Произвольная кривая имеет переменную кривизну. В каждой точке такой кривой можно подобрать окружность радиусом, кривизна которой равна кривизне кривой в данной точке М (рис. 9.2). Величина называется радиусом кривизны в данной точке кривой. Ось, направленная по касательной в сторону движения, и ось, направленная по радиусу к центру кривизны и называемая нормалью, образуют естественные оси координат.
Нормальное и касательное ускорение точки
При естественном способе задания движения ускорение точки равно геометрической сумме двух векторов, один из которых направлен по главной нормали и называется нормальным ускорением, а второй направлен по касательной и называется касательным ускорением точки.
Проекция ускорения точки на главную нормаль равна квадрату модуля скорости тоски, деленному на радиус кривизны траектории в соответствующей точке. Нормальное ускорение точки всегда направлено к центру кривизны траектории и равно по модулю этой проекции.
Изменение скорости по модулю характеризуется касательным (тангенциальным) ускорением.
т.е. проекция ускорения точки на касательную равна второй производной от дуговой координаты точки по времени или первой производной от алгебраической величины скорости точки по времени.
Эта проекция имеет знак плюс, если направления касательного ускорения и орта совпадают, и знак минус, если они противоположны.
Таким образом, в случае естественного способа задания движения, когда известны траектория точки а, следовательно, ее радиус кривизны? в любой точке и уравнение движения, можно найти проекции ускорения точки на естественные оси:
Если a > 0 и > 0 или a < 0 и < 0, то движение ускоренное и вектор а направлен в сторону вектора скорости. Если а < 0 и > 0 или а > 0 и < 0, то движение замедленное и вектор а направлен в сторону, противоположную вектору скорости
Частные случаи.
1. Если точка движется прямолинейно и неравномерно, то = , и,следовательно, = 0, a = a.
2. Если точка движется прямолинейно и равномерно, = 0, a = 0 и a = 0.
3. Если точка движется по криволинейной траектории равномерно, то а = 0 и а = . При равномерном криволинейном движении точки закон движения имеет вид s = t. Положительное направление отсчета целесообразно назначать в задачах в зависимости от конкретных условий. В случае, когда 0 = 0, получаем = gt и. Часто в задачах используется (при падении тела с высоты Н без начальной скорости) формула
Вывод: нормальное ускорение существует лишь при криволинейном
32. Классификация движения точки по её ускорению
если в течение некоторого промежутка времени нормальное и касательное ускорения точки равны нулю, то в течение этого промежутка не измениться ни направление, ни модуль скорости, т.е. точка движется прямолинейно равномерно и ее ускорение равно нулю.
если в течение некоторого промежутка времени не равно нулю нормальное ускорение и равно нулю касательное ускорение точки, то происходит изменение направления скорости без изменения ее модуля, т.е. точка движется криволинейно равномерно и модуль ускорения.
Если в отдельный момент времени, то точка не движется равномерно, а в этот момент времени модуль ее скорости имеет максимум, минимум или наименьшую быстроту монотонного изменения.
если в течение некоторого промежутка времени равно нулю нормальное ускорение точки и не равно нулю касательное, то не изменяется направление скорости, а изменяется ее модуль, т.е. точка движется по прямой неравномерно. Модуль ускорения точки в этом случае
При этом если направление векторов скорости и совпадают, то движение точки ускоренное, а если не совпадают, то движение точки замедленное.
Если в некоторый момент времени, то точка не движется прямолинейно, а проходит точку перегиба траектории или модуль ее скорости обращается в нуль.
Если в течение некоторого промежутка времени ни нормальное, ни касательное ускорения не равны нулю, то изменяется как направление, так и модуль ее скорости, т.е. точка совершает криволинейное неравномерное движение. Модуль ускорения точки
при этом если направление векторов скорости и совпадают, то движение ускоренное, а если противоположны, то движение замедленное.
Если модуль касательного ускорения постоянен, т.е. , то модуль скорости точки изменяется пропорционально времени, т.е. точка совершает равнопеременное движение. И тогда
Формула скорости равнопеременного движения точки;
Уравнение равнопеременного движения точки
Все тела, которые окружают нас, находятся в постоянном движении. Перемещение в пространстве тел наблюдается на всех масштабных уровнях, начиная с движения элементарных частиц в атомах вещества и заканчивая ускоренным движением галактик во Вселенной. В любом случае процесс движения происходит с ускорением. В данной статье рассмотрим подробно понятие касательного ускорения и приведем формулу, по которой его можно рассчитать.
Кинематические величины
Прежде чем вести разговор о касательном ускорении, рассмотрим, какими величинами принято характеризовать произвольное механическое перемещение тел в пространстве.
В первую очередь — это путь L. Он показывает, какое расстояние в метрах, сантиметрах, километрах и так далее прошло тело за некоторый промежуток времени.
Вторая важная характеристика в кинематике — это скорость тела. В отличие от пути, она является величиной векторной и направлена вдоль траектории движения тела. Скорость определяет быстроту изменения пространственных координат во времени. Формула для ее вычисления имеет вид:
Скорость - это по времени производная пути.
Наконец, третьей важной характеристикой движения тел является ускорение. Согласно определению в физике, ускорение — это величина, которая определяет изменение скорости от времени. Формулу для него можно записать в виде:
Ускорение, как и скорость, тоже является величиной векторной, однако в отличие от нее оно направлено в сторону изменения скорости. Направление ускорения также совпадает с вектором результирующей силы, оказывающей действие на тело.
Траектория движения и ускорение
Многие задачи в физике рассматривают в рамках прямолинейного движения. В этом случае, как правило, не говорят о касательном ускорении точки, а работают с линейным ускорением. Однако если перемещение тела не является линейным, то полное его ускорение может быть разложено на две составляющие:
- касательную;
- нормальную.
В случае линейного движения нормальная составляющая равна нулю, поэтому о векторном разложении ускорения не говорят.
Таким образом, траектория движения во многом определяет характер и составные части полного ускорения. Под траекторией движения понимают воображаемую линию в пространстве, вдоль которой тело перемещается. Любая криволинейная траектория приводит к появлению ненулевых компонент ускорения, отмеченных выше.
Определение тангенциального ускорения
Тангенциальное или, как его еще называют, касательное ускорение — это компонента полного ускорения, которая направлена по касательной к траектории движения. Поскольку вдоль траектории направлена также скорость, то вектор тангенциального ускорения совпадает с вектором скорости.
Выше было дано понятие ускорения как меры изменения скорости. Поскольку скорость - это вектор, то изменить ее можно либо по модулю, либо по направлению. Касательное ускорение определяет только изменение модуля скорости.
Заметим, что в случае прямолинейного движения вектор скорости своего направления не меняет, поэтому, в соответствии с приведенным определением, тангенциальное ускорение и линейное ускорение - это одна и та же величина.
Получение уравнения касательного ускорения
Предположим, что тело движется по некоторой кривой траектории. Тогда его скорость v¯ в выбранной точке можно представить в следующем виде:
Здесь v — модуль вектора v¯, u t ¯ — единичный вектор скорости, направленный по касательной к траектории.
Используя математическое определение ускорения, получаем:
a¯ = dv¯/dt = d(v*u t ¯)/dt = dv/dt*u t ¯ + v*d(u t ¯)/dt
При нахождении производной здесь использовалось свойство произведения двух функций. Мы видим, что полное ускорение a¯ в рассматриваемой точке соответствует сумме двух слагаемых. Они являются касательным и нормальным ускорением точки соответственно.
Скажем пару слов о Оно ответственно за изменение вектора скорости, то есть за изменение направления движения тела вдоль кривой. Если явно вычислить значение второго слагаемого, то получится формула для нормального ускорения:
a n = v*d(u t ¯)/dt = v 2 /r
Нормальное ускорение направлено вдоль нормали, восстановленной в данную точку кривой. В случае движения по окружности нормальное ускорение является центростремительным.
Уравнение касательного ускорения a t ¯ имеет вид:
Это выражение говорит о том, что тангенциальное ускорение соответствует изменению не направления, а модуля скорости v¯ за момент времени. Поскольку тангенциальное ускорение направлено по касательной к рассматриваемой точки траектории, то оно всегда перпендикулярно нормальной компоненте.
и модуль полного ускорения
Выше была представлена вся информация, которая позволяет вычислить через касательное и нормальное. Действительно, так как обе компоненты являются взаимно перпендикулярными, то их вектора образуют катеты прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является вектор полного ускорения. Этот факт позволяет записать формулу для модуля полного ускорения в следующем виде:
a = √(a n 2 + a t 2)
Угол θ между полным ускорением и тангенциальным можно определить так:
Чем больше тангенциальное ускорение, тем ближе оказываются направления касательного и полного ускорения.
Связь касательного и углового ускорения
Типичной криволинейной траекторией, по которой движутся тела в технике и природе, является окружность. Действительно, перемещение шестерен, лопастей и планет вокруг собственной оси или вокруг своих светил происходит именно по окружности. Движение, соответствующее этой траектории, называется вращением.
Кинематика вращения характеризуется теми же величинами, что кинематика движения по прямой, однако, они имеют угловой характер. Так, для описания вращения используют центральный угол поворота θ, угловые скорость ω и ускорение α. Для этих величин справедливы следующие формулы:
Предположим, что тело совершило один оборот вокруг оси вращения за время t, тогда для скорости угловой можно записать:
Линейная скорость в этом случае будет равна:
Где r - радиус траектории. Последние два выражения позволяют записать формулу связи двух скоростей:
Теперь вычислим производную по времени от левой и правой частей равенства, получим:
В правой части равенства стоит произведение на радиус окружности. Левая же часть равенства - это изменение модуля скорости, то есть касательное ускорение.
Таким образом, тангенциальное ускорение и аналогичная угловая величина связаны равенством:
Если предположить, что вращается диск, то тангенциальное ускорение точки при постоянной величине α будет возрастать линейно с увеличением расстояния от этой точки до оси вращения r.
Определение тангенциального ускорения по известной функции скорости
Известно, что скорость тела, которое перемещается по некоторой кривой траектории, описывается следующей функцией от времени:
Необходимо определить формулу касательного ускорения и найти его значение в момент времени t = 5 секунд.
Сначала запишем формулу для модуля тангенциального ускорения:
То есть для вычисления функции a t (t) следует определить производную скорости по времени. Имеем:
a t = d(2*t 2 + 3*t + 5)/dt = 4*t + 3
Подставляя в полученное выражение время t = 5 секунд, приходим к ответу: a t = 23 м/с 2 .
Заметим, что графиком скорости от времени в данной задаче является парабола, график же тангенциального ускорения - это прямая линия.
Задача на определение тангенциального ускорения
Известно, что материальная точка начала равноускоренное вращение с нулевого момента времени. Через 10 секунд после начала вращения ее центростремительное ускорение стало равным 20 м/с 2 . Необходимо определить касательное ускорение точки через 10 секунд, если известно, что радиус вращения равен 1 метр.
Сначала запишем формулу для центростремительного или нормального ускорения a c:
Пользуясь формулой связи между линейной и угловой скоростью, получим:
При равноускоренном движении скорость с угловым ускорением связаны формулой:
Подставляя ω в равенство для a c , получим:
Линейное ускорение через тангенциальное выражается так:
Подставляем последнее равенство в предпоследнее, получаем:
a c = a t 2 /r 2 *t 2 *r = a t 2 /r*t 2 =>
a t = √(a c *r)/t
Последняя формула с учетом данных из условия задачи приводит к ответу: a t = 0,447 м/с 2 .